Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，點M是AB上的動點（不與A，B重合），過點M作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN，令AM=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？

Answer 1

分析：（1）由△AMN∽△ABC得出AN，又S_△AMN=S_△MNP，求得△AMN的面積即可．
（2）設直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD，并過點M作MQ⊥BC于Q，由（1）中△AMN∽△ABC得

AM

AB

=

MN

BC

，則求得MN、OD，再證△BMQ∽△BCA，得

BM

BC

=

QM

AC

，代入求得x的值．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

AN

AC

，即

x

4

=

AN

3

．
∴AN=

3

4

x．
∴S=S_△MNP=S_△AMN=

1

2

•

3

4

x•x=

3

8

x²．（0＜x＜4）

（2）如圖，設直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD．
AO=OD=

1

2

MN．
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=5．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

MN

BC

，即

x

4

=

MN

5

．
∴MN=

5

4

x．
∴OD=

5

8

x．
過點M作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=

5

8

x．
在Rt△BMQ與Rt△BAC中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴

BM

BC

=

QM

AC

，即

BM

5

=

5 8 x

3

．
解得BM=

25

24

x．
AB=BM+AM=

25

24

x+x=4．
解得x=

96

49

，即當x=

96

49

時，⊙O與BC相切．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及切線的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．