Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC=10m，BC=16m，現點P從B點出發，沿BC向點C運動，運動速度為

1

4

m/s．問P點經過幾秒后，線段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一個是直角三角形？

Answer 1

分析：本題需分∠APC=90°∠PAC=90°∠PAB=90°三種情況討論，再根據BP、CP、AP、AB以及BC邊上的高AD之間的關系列出方程，求出解即可．

解答：解：設P點經過t秒后，線段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一個是直角三角形
此時BP=

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4

t，PC=16-

1

4

t

（1）當∠APC=90°時，AP⊥BC，
∵AB=AC，AP⊥BC，
∴BP=CP=

1

2

BC=8，
∴

1

4

t=8，
∴t=32；

（2）當∠PAC=90°時，過A作AD⊥BC

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=8，
∴PD=BD-BP=8-

1

4

t，
在Rt△ADC中，AD²=AC²-CD²，
∴AD=6，
在Rt△PAC中，AP²=CP²-AC²，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+PD²，
∴CP²-AC²=AD²+PD²，
∴(16-

1

4

t)2-100=(8-

1

4

t)2+36，
解得t=14；

（3）當∠PAB=90°時，過A作AE⊥BC

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=8，
∴PE=BP-BE=

1

4

t-8，
在Rt△AEC中，AE²=AC²-CE²，
∴AE=6，
在Rt△PAB中，AP²=BP²-AB²，
在Rt△AEP中，AP²=AE²+PE²，
∴BP²-AB²=AE²+PE²，
∴(

1

4

t)2-100=(

1

4

t-8)2+36，
解得t=50．
答：P點經過14秒或32秒或50秒后，線段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一個是直角三角形．

點評：本題解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．