Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點和點，與軸交于點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點是直線下方的拋物線上一動點（不點，重合），過點作軸的平行線交直線于點，設點的橫坐標為.

①用含的代數式表示線段的長；

②連接，，求的面積最大時點的坐標；

（3）設拋物線的對稱軸與交于點，點是拋物線的對稱軸上一點，為軸上一點，是否存在這樣的點和點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代數式表示線段PD的長為﹣m2+3m；②△PBC的面積最大時點P的坐標為（，﹣）；（3）存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形．點M的坐標為M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．

【解析】

（1）根據已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（1，0）和點B（3，0）代入即可求解；
（2）①先確定直線BC解析式，根據過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，即可用含m的帶上書表示出P和D的坐標進而求解；
②用含m的代數式表示出△PBC的面積，可得S是關于m的二次函數，即可求解；
（3）根據（1）中所得二次函數圖象和對稱軸先得點E的坐標即可寫出點三個位置的點M的坐標．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經過點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3；

（2）①設P（m，m2﹣4m+3），

將點B（3，0）、C（0，3）代入得直線BC解析式為yBC＝﹣x+3．

∵過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，

∴D（m，﹣m+3），

∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．

答：用含m的代數式表示線段PD的長為﹣m2+3m．

②S△PBC＝S△CPD+S△BPD

＝OBPD＝﹣m2+m

＝﹣（m﹣）2+．

∴當m＝時，S有最大值．

當m＝時，m2﹣4m+3＝﹣．

∴P（，﹣）．

答：△PBC的面積最大時點P的坐標為（，﹣）．

（3）存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形．
根據題意，點E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根據菱形的四條邊相等，
∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）
當EM=EF=2時，M（2，3）

∴點M的坐標為M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．