Question

在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是邊BC上的任意一點（P與B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于點E．

⑴ 判斷△ABP與△PCE是否相似，并說明理由；
⑵ 聯結BD，若PE∥BD，試求出此時BP的長．

Answer 1

⑴△ABP與△PCE相似．（2）BP=

試題分析：解：⑴△ABP與△PCE相似．
理由如下：
∵矩形ABCD，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP＋∠BPA＝90°，
∵PE⊥AP， ∴∠CPE＋∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠CPE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE．
⑵ 解法一：由⑴得△ABP∽△PCE
∴＝，即＝，
∵PE∥BD，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵ AB＝CD＝2，BC=AD＝3，
∴BP＝=．
解法二：由⑴得△ABP∽△PCE
∴＝，
∵ AB＝2，AD＝3，設BP=x，則PC=3－x，代入上式得
=，
∴CE＝，
∵PE∥BD，
∴＝，即＝，
解得=，或＝3(不合題意，舍去)，
即BP=．
點評：難度小，主要考查是否掌握相似三角形的判定。