Question

已知：如圖，⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延長線于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度數；
（2）求證：AC²=AD•CE；
（3）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．等邊對等角及平行線的性質可求∠D的度數；
（2）乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．
（3）延長BO交DA的延長線于F，連接OA．通過證明△BOC∽△BFD得出的值．
解答：（1）解：如圖，連接OB（1分）
∵⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°（2分）

（2）證明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，
∴∠BAC=∠D（3分）
∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC（4分）
∴△ACE∽△DAC
∴
∴AC²=AD•CE（5分）

（3）解：方法一：如圖，延長BO交DA的延長線于F，連接OA
∵AD∥OC，
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°、
∴OF=OA
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD
∴

∴=2，即的值為2（7分）
方法二：作OM⊥BA于M，設⊙O的半徑為r，可得BM=，OM=，∠MOE=30°，
ME=OM•tan30°=，BE=，AE=，所以=2
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，同時考查了圓周角定理和平行線的性質，綜合性較強，難度較大．