Question

已知：如圖，⊙O的內接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延長線于D，OC交AB于E．

 

 

1.求∠D的度數；

2.求證：AC²＝AD·CE；

3.求的值．

 

Answer 1

 

1.解：如圖，連結OB．

 

 

∵⊙O的內接△ABC中，∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝90°．

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

∵AD∥OC，

∴∠D＝∠OCB＝45°．

2.證明：∵∠BAC＝45°，∠D＝45°，

∴∠BAC＝∠D．

∵AD∥OC，

∴∠ACE＝∠DAC．

∴△ACE∽△DAC．

∴AC²＝AD·CE．

3.解法一：如圖，延長BO交DA的延長線于F，連結OA．

 

 

∵AD∥OC，

∴∠F＝∠BOC＝90°．

∵∠ABC＝15°，

∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝30°．

∵OA＝OB．

∴∠FOA＝∠OBA＋∠OAB＝60°，∠OAF＝30°．

∴．

∵AD∥OC，

∴△BOC∽△BFD．

即的值為2．

解法二：作OM⊥BA于M，設⊙O的半徑為r，可得

所以

 解析:略