Question

【題目】如圖，等邊△ABC和等邊△CDE，A、C、E三點在一條直線上，點M為AD中點，點N為BE中點，求證：△CMN是等邊三角形.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

根據等腰三角形的性質得到AC=BC,DC=EC,∠ACD=∠BCE=120°，可證△ACD≌△BCE（SAS），根據全等三角形的性質得到∠DAC=∠E BC，AD=BE，由M，N分別為AD，BE的中點，得到AM=BN，推出△ACM≌△BCN(SAS)，根據全等三角形的性質得到CM=CN，∠ACM =∠NCB，求出∠MCN=60°，即可得到結論．

證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形

∴AC=BC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE=180°-60°=120°，

∴△ACD ≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，

∵M、N是AD、BE的中點，

∴AM=BN，

又∵AC=BC，∠DAC=∠EBC，

∴△ACM≌△BCN(SAS)，

∴CM=CN，∠ACM =∠BCN，

∴∠MCB+ ∠ACM =∠MCB+∠BCN =60°，

即∠MCN=60°，
在△CMN中，CM=CN，∠MCN=60°，

∴△CMN是等邊三角形．