Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內一點，連接PA、PC，PA＝PC，∠APC＝90°，把線段AP繞點A逆時針旋轉120°，得到線段AQ（點P與點Q為對應點），連接BQ交AP于點E．點D為BQ的中點，連接AD、PD，若S△DAP＝2，則AB＝__．

Answer 1

【答案】4

【解析】

延長QA到M，使得AM＝AQ，連接BM，PM．首先證明△PAM是等邊三角形，證明△MAB≌△PAC（SAS），推出∠AMB＝∠APC＝90°，由AQ＝AM，BD＝DQ，推出AD∥BM，BM＝2AD，推出AD＝PA，再利用三角形的面積公式構建方方程求出PA即可解決問題．

延長QA到M，使得AM＝AQ，連接BM，PM．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵PA＝PC，∠APC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝45°，

∵∠PAQ＝120°，

∴∠PAM＝180°﹣120°＝60°，

∵AM＝AQ＝AP，

∴△APM是等邊三角形，

∴∠MAP＝∠BAC＝60°，

∴∠MAB＝∠PAC，

∵AM＝AP，AB＝AC，

∴△MAB≌△PAC（SAS），

∴BM＝PC，∠AMB＝∠APC＝90°，

∵AQ＝AM，BD＝DQ，

∴AD∥BM，BM＝2AD，

∴AD＝PA，

∴∠QAD＝∠QMB＝90°，

∴∠PAD＝∠MAD﹣∠MAP＝90°﹣60°＝30°，

∵S△PAD＝2，

∴PAADsin30°＝2，

∴PAPA＝2，

∴PA＝4，

∴AB＝AC＝PA＝4，

故答案為4．