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如圖所示,山坡上有一棵與水平面垂直的大樹,一場臺風過后,大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上,樹的頂部恰好接觸到坡面.已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得樹干傾斜角∠BAC=38°,大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m.
(1)求∠CAE的度數;
(2)求這棵大樹折斷前的高度.(結果精確到個位,參考數據:=1.4,=1.7,=2.4).

【答案】分析:本題可通過作輔助線構造直角三角形來解決問題,
(1)如果延長BA交EF于點G,那么BG⊥EF,∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG,∠BAC的度數以及確定,只要求出∠GAE即可.直角三角形GAE中∠E的度數已知,那么∠EAG的度數就能求出來了,∠CAE便可求出.
(2)求樹折斷前的高度,就是求AC和CD的長,如果過點A作AH⊥CD,垂足為H.有∠CDA=60°,通過構筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值.
解答:解:(1)延長BA交EF于點G.
在Rt△AGE中,∠E=23°,
∴∠GAE=67°.
又∵∠BAC=38°,
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°.

(2)過點A作AH⊥CD,垂足為H.
在△ADH中,∠ADC=60°,AD=4,cos∠ADC=,∴DH=2.
sin∠ADC=,∴AH=2
在Rt△ACH中,∠C=180°-75°-60°=45°,
∴AC=2,CH=AH=2
∴AB=AC+CD=2+2+2≈10(米).
答:這棵大樹折斷前高約10米.
點評:本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題,可通過作輔助線構造直角三角形,再把條件和問題轉化到這個直角三角形中,使問題解決.
練習冊系列答案
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(1)求∠CAE的度數;
(2)求這棵大樹折斷前的高度.(結果精確到個位,參考數據:
2
=1.4,
3
=1.7,
6
=2.4).
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(1)求∠CAE的度數;
(2)求這棵大樹折斷前的高度?(結果精確到個位,參考數據:,).

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(1)求∠CAE的度數;

(2)求這棵大樹折斷前的高度?(結果精確到個位,參考數據:,,).

 

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