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在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D,過點D作⊙O的切線,交BC于點E.
(1)求證:點E是邊BC的中點;
(2)若EC=3,BD=,求⊙O的直徑AC的長.

【答案】分析:(1)利用EC為⊙O的切線,ED也為⊙O的切線可求EC=ED,再求得EB=EC,EB=ED可知點E是邊BC的中點;
(2)解答此題需要運用圓切線和割線的性質和勾股定理求解.
解答:解:(1)證明:連接DO;
∵∠ACB=90°,AC為直徑,
∴EC為⊙O的切線;
又∵ED也為⊙O的切線,
∴EC=ED,
又∵∠EDO=90°,
∴∠BDE+∠ADO=90°,
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°,
∴∠BDE=∠B,
∴EB=ED,
∴EB=EC,即點E是邊BC的中點;

(2)∵BC,BA分別是⊙O的切線和割線,
∴BC2=BD•BA,
∴(2EC)2=BD•BA,即BA•2=36,
∴BA=3
在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC===3
點評:本題考查了圓的切線性質,及解直角三角形的知識.運用切線的性質來進行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構造直角三角形解決有關問題.
練習冊系列答案
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精英家教網已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,D是AB上一點,以BD為直徑的⊙O切AC于E,求⊙O的半徑.

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A、12B、6C、2D、3

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A、asinA
B、
a
sinA
C、acosA
D、
a
cosA

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A、9:4B、9:2C、3:4D、3:2

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