Question

已知一元二次方程x²+ax+a-2=0．
（1）求證：不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設a＜0，當二次函數y=x²+ax+a-2的圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為？若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
∴不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根．

（2）解：設x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的兩個根，則x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，
∵兩交點的距離是，
∴|x₁-x₂|==．
即：（x₁-x₂）²=13，
變形為：（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=13，
∴（-a）²-4（a-2）=13，
整理得：（a-5）（a+1）=0，
解方程得：a=5或-1，
又∵a＜0，
∴a=-1，
∴此二次函數的解析式為y=x²-x-3．

（3）解：設點P的坐標為（x₀，y₀），
∵函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，
∴AB=，
∴S_△PAB=AB•|y₀|=，
∴=
即：|y₀|=3，
解得：y₀=±3，
當y₀=3時，x₀²-x₀-3=3，即（x₀-3）（x₀+2）=0，
解此方程得：x₀=-2或3，
當y₀=-3時，x₀²-x₀-3=-3，即x₀（x₀-1）=0，
解此方程得：x₀=0或1，
綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是（-2，3）或（3，3）或（0，-3）或（1，-3）．
分析：（1）由△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，即可判定不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；
（2）首先設x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的兩個根，則x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，由兩交點的距離是，可得：（x₁-x₂）²=13，即可得（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=13，繼而求得a的值；
（3）首先設點P的坐標為（x₀，y₀），由AB=，△PAB的面積為，即可求得y₀的值，繼而求得P點坐標．
點評：此題屬于二次函數的綜合題，考查了根的判別式、根與系數的關系、兩點間的距離公式以及點與二次函數的關系．此題難度較大，注意掌握方程思想的應用．