Question

如圖，直線y=-

1

2

x+1與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若點P（1，a）為坐標系中的一個動點．
（1）求Rt△ABC的面積；
（2）說明不論a取任何實數，△BOP的面積都是一個常數；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B兩點的坐標，利用勾股定理得到AB的長，等腰Rt△ABC的面積為AB平方的一半；
（2）三角形BOP的底邊BO=1，BO邊上的高為P點的橫坐標1，所以它的面積是一個常數

1

2

；
（3）討論，①點P在第四象限，②點P在第一象限，利用面積和差表示出△ABP的面積，然后根據△ABC和△ABP的面積相等建立方程，從而求出a的值．

解答：解：（1）令y=-

1

2

x+1中x=0，得點B坐標為（0，1）；
令y=0，得點A坐標為（2，0），
由勾股定理可得AB=

5

，
故可得S_△ABC=

1

2

AB•AC=

5

2

；

（2）不論a取任何實數，三角形BOP都可以以BO=1為底，點P到y軸的距離1為高，
所以S_△BOP=

1

2

為常數；

（3）分兩種情況：
①當點P在第四象限時，
∵S_△ABO=1，S_△APO=-a，S_△BOP=

1

2

，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=

5

2

，
即1-a-

1

2

=

5

2

，
解得a=-2，
②當點P在第一象限時，
∵S_△ABO=1，S_△APO=a，S_△BOP=

1

2

，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO=S_△ABC=

5

2

，
即

1

2

+a-1=

5

2

，
解得a=3．
綜上可得a=-2或3．

點評：此題考查了一次函數綜合題，掌握一次函數的性質，會求一次函數與兩坐標軸的交點坐標，會用坐標表示線段，掌握用面積的和差表示不規則圖形的面積是解題的關鍵．