Question

如圖，直線y=kx+b（k≠0）與坐標軸分別交于A、B兩點，OA=8，OB=6．動點P從O點出發，沿路線O→B→A以每秒1個單位長度的速度運動，到達A點時運動停止．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）求出直線AB的解析式；
（3）設點P的運動時間為t（秒），△OPA的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不必寫出自變量的取值范圍）；
（4）當S=12時，直接寫出點P的坐標，此時，在坐標軸上是否存在點M，使以O、A、P、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據OA和OB的長度可求出A、B兩點的坐標；
（2）將A、B兩點的坐標代入直線方程式中即可求出直線解析式；
（3）將P點運動分為3個階段分別寫出函數關系式即可；
（4）根據（3）中求得的關系式求出P點坐標，求在不同情況下是否存在點M．

解答：解：（1）A（8，0），B（0，6）（2分）

（2）∵直線y=kx+b過點A（8，0），B（0，6）
∴

8k+b=0 b=6

，
∴

k=- 3 4 b=6

，y=-

3

4

x+6（4分）

（3）∵在Rt△AOB中，OA=8，OB=6，
∴AB=10
①當點P在OB上運動時，OP=t
S=

1

2

OA×OP=

1

2

×8t=4t（5分）

②當點P在BA上運動時，AP=6+10-t=16-t．
作PD⊥OA于點D，
∴∠PDA=∠BOA=90°，∠A=∠A
∴△APD∽△ABO，得

PD

BO

=

AP

AB

，
即

PD

6

=

16-t

10

．解得PD=

48-3t

5

．
∵AP=6+10-t=16-t，
∴PD=

48-3t

5

∴S=

1

2

OA×PD=

1

2

×8×

48-3t

5

=-

12

5

t+

192

5

（8分）


（4）①當4t=12時，t=3，P（0，3）
此時，過△AOP各頂點作對邊的平行線，與坐標軸無第二個交點，所以點M不存在；（10分）
②當-

12

5

t+

192

5

=12時，t=11，P（4，3），在坐標軸上存在點M（兩個），使梯形存在，
此時M的坐標為：（0，3）；（0，-6）．

點評：本題主要考查對于一次函數的應用和對分段函數的理解掌握，此外，還應掌握梯形的性質．