Question

（2013•淄博）矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4．
（1）如圖1，四邊形MNEF是在矩形紙片ABCD中裁剪出的一個正方形．你能否在該矩形中裁剪出一個面積最大的正方形，最大面積是多少？說明理由；
（2）請用矩形紙片ABCD剪拼成一個面積最大的正方形．要求：在圖2的矩形ABCD中畫出裁剪線，并在網格中畫出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖（使正方形的頂點都在網格的格點上）．

Answer 1

分析：（1）設AM=x（0≤x≤4）則MD=4-x，根據正方形的性質就可以得出Rt△ANM≌Rt△DMF．根據正方形的面積就可以表示出解析式，由二次函數的性質就可以求出其最值；
（2）先將矩形紙片分割成4個全等的直角三角形和兩個矩形如圖，根據趙爽弦圖的構圖方法就可以拼成正方形．

解答：解：（1）正方形的最大面積是16．設AM=x（0≤x≤4），則MD=4-x．
∵四邊形MNEF是正方形，
∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°．
∵∠AMN+∠ANM=90°，
∴∠ANM=∠FMD．
∵在△ANM和△DMF中
 

∠A=∠D ∠ANM=∠FMD MN=FM

，
∴△ANM≌△DMF（AAS）．
∴DM=AN．
∴S_{正方形MNEF}=MN²=AM²+AN²，
=x²+（4-x）²，
=2（x-2）²+8
∵函數 S_{正方形MNEF}=2（x-2）²+8的開口向上，
對稱軸是x=2，
在對稱軸的左側S隨x的增大而減小，在對稱軸的右側S隨x的增大而增大，
∵0≤x≤4，
∴當x=0或x=4時，
正方形MNEF的面積最大．
最大值是16．

（2）先將矩形紙片ABCD分割成4個全等的直角三角形和兩個矩形如圖1，然后拼成如圖2的正方形．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，二次函數的解析式的運用，拼圖的運用，在解答本題時由正方形的性質建立二次函數是求最值的關鍵．