Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左側），點C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點M，點N是CD的中點，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.

（1）求拋物線的解析式；

（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接M、N、G、F構成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長的最小值；

（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點P，使△ODP中OD邊上的高為？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）矩形ABCD不動，將拋物線向右平移，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L，且直線KL平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）四邊形MNGF周長最小值為12；（3）存在點P，P坐標為（6，﹣6）；（4）拋物線平移的距離為3個單位長度.

【解析】

（1）由點E在x軸正半軸且點A在線段OE上得到點A在x軸正半軸上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四邊形ABCD為矩形，故有AD⊥AB，所以點D在第四象限，橫坐標與A的橫坐標相同，進而得到點D坐標.由拋物線經過點D、E，用待定系數法即求出其解析式；（2）畫出四邊形MNGF，由于點F、G分別在x軸、y軸上運動，故可作點M關于x軸的對稱點點M'，作點N關于y軸的對稱點點N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得當M'、F、G、N'在同一直線上時N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四邊形MNGF周長最小值等于MN+M'N'.根據矩形性質、拋物線線性質等條件求出點M、M'、N、N'坐標，即求得答案；（3）因為OD可求，且已知△ODP中OD邊上的高，故可求△ODP的面積.又因為△ODP的面積常規求法是過點P作PQ平行y軸交直線OD于點Q，把△ODP拆分為△OPQ與△DPQ的和或差來計算，故存在等量關系.設點P坐標為t，用t表示PQ的長即可列方程.求得t的值要討論是否滿足點P在x軸下方的條件；（4）由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上，畫出平移后的拋物線可知，點K由點O平移得到，點L由點D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易證KL平分矩形面積時，KL一定經過矩形的中心H且被H平分，求出H坐標為（4，﹣3），由中點坐標公式即求得m的值.

（1）∵點A在線段OE上，E（8，0），OA＝2

∴A（2，0）

∵OA：AD＝1：3

∴AD＝3OA＝6

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD⊥AB

∴D（2，﹣6）

∵拋物線y＝ax2+bx經過點D、E

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x

（2）如圖1，作點M關于x軸的對稱點M'，作點N關于y軸的對稱點N'，連接FM'、GN'、M'N'

∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8

∴拋物線對稱軸為直線x＝4

∵點C、D在拋物線上，且CD∥x軸，D（2，﹣6）

∴yC＝yD＝﹣6，即點C、D關于直線x＝4對稱

∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）

∴AB＝CD＝4，B（6，0）

∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°

∴∠BAM＝45°

∴BM＝AB＝4

∴M（6，﹣4）

∵點M、M'關于x軸對稱，點F在x軸上

∴M'（6，4），FM＝FM'

∵N為CD中點

∴N（4，﹣6）

∵點N、N'關于y軸對稱，點G在y軸上

∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'

∴C四邊形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'

∵當M'、F、G、N'在同一直線上時，N'G+GF+FM'＝M'N'最小

∴C四邊形MNGF＝MN+M'N'=

∴四邊形MNGF周長最小值為12.

（3）存在點P，使△ODP中OD邊上的高為.

過點P作PQ∥y軸交直線OD于點Q

∵D（2，﹣6）

∴OD＝，直線OD解析式為y＝﹣3x

設點P坐標為（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），則點Q（t，﹣3t）

①如圖2，當0＜t＜2時，點P在點D左側

∴PQ＝yQ﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t

∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝PQxP+PQ（xD﹣xP）＝PQ（xP+xD﹣xP）＝PQxD＝PQ＝﹣t2+t

∵△ODP中OD邊上的高h＝，

∴S△ODP＝ODh

∴﹣t2+t＝×2×

方程無解

②如圖3，當2＜t＜8時，點P在點D右側

∴PQ＝yP﹣yQ＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t

∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝PQxP﹣PQ（xP﹣xD）＝PQ（xP﹣xP+xD）＝PQxD＝PQ＝t2﹣t

∴t2﹣t＝×2×

解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6

∴P（6，﹣6）

綜上所述，點P坐標為（6，﹣6）滿足使△ODP中OD邊上的高為.

（4）設拋物線向右平移m個單位長度后與矩形ABCD有交點K、L

∵KL平分矩形ABCD的面積

∴K在線段AB上，L在線段CD上，如圖4

∴K（m，0），L（2+m，-6）

連接AC，交KL于點H

∵S△ACD＝S四邊形ADLK＝S矩形ABCD

∴S△AHK＝S△CHL

∵AK∥LC

∴△AHK∽△CHL

∴==1，

∴AH＝CH，KH=HL，即點H為AC中點，也是KL中點

∴H（4，﹣3）

∴

∴m＝3

∴拋物線平移的距離為3個單位長度.