Question

用長度為20m的金屬材料制成如圖所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形，其斜邊長為2xm．當該金屬框圍成的圖形面積最大時，圖形中矩形的相鄰兩邊長各為多少？請求出金屬框圍成的圖形的最大面積．

Answer 1

分析：由特殊等腰直角三角形，設出直角邊長，再表示其它各邊邊長，把金屬框圍成的面積用未知量x表示出來，轉化為求函數最值問題，從而求出金屬框圍成的圖形的最大面積．

解答：解：根據題意可得，等腰直角三角形直角邊長為

2

xm，矩形的一邊長為2xm，
其相鄰邊長為

20-(4+2 2 )x

2

=[10-(2+

2

)x]m，
∴該金屬框圍成的面積S=2x[10-(2+

2

)x]+

1

2

×

2

x•

2

x=-(3+2

2

)x2+20x（0＜x＜10-5

2

）
當x=-

b

2a

=

10

3+2 2

=30-20

2

時，金屬圍成的面積最大，
此時斜邊長2x=（60-40

2

）m，
相鄰邊長為10-（2+

2

）•10(3-2

2

)=（10

2

-10）m，
S_最大=100（3-2

2

）=（300-200

2

）m²．
答：矩形的相鄰兩邊長各為（60-40

2

）m，（10

2

-10）m，金屬框圍成的圖形的最大面積為：（300-200

2

）m ²．

點評：此題考查二次函數的性質及其應用，將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題，比較簡單．