Question

（1）求證：關于x的方程（n-1）x²十mx+1=0①有兩個相等的實數根．
關于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0②必有兩個不相等的實數根；
（2）若方程①的一根的相反數恰好是方程②的一個根，求代數式m²n十12n的值．

Answer 1

分析：（1）①有兩個相等的實數根，即方程的判別式△=0，即可得到關于m，n的一個等式，求證②必有兩個不相等的實數根，即證明根的判別式△＞0．
（2）把（1）中根據①有兩個相等的實數根，即方程的判別式△=0，得到的關于m，n的一個等式，變形為用含m的代數式表示n的形式，消去方程①中的m，然后解方程①，求出方程的根，根據若方程①的一根的相反數恰好是方程②的一個根，即可求解．

解答：（1）證明：由方程①得n-1≠0，m²-4×（n-1）=0．
∴m²=4（n-1）且m≠0，則n-1＞0．
方程②中△=4m²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=8m²（n+3）（n-1）．
∵n-1＞0．
∴△＞0．方程②必有兩個不相等的實數根．

（2）解：由m²=4（n-1），得n-1=

m2

4

．代入第一個方程，得

m2

4

x²+mx+1=0，解得x=-

2

m

．
把

2

m

代入第二個方程，得
m²×（

2

m

）²-2m×

2

m

-m²-2n²+3=0．
整理得2n²+4n=7．
∴m²n十12n=n（m²+12）
=n（4n-4+12）
=4n²+8n
=2（2n²+4n）
=14．

點評：△＞0時，一元二次方程才有2個不相等的實數根．注意運用根與系數的關系使計算簡便．