Question

如圖1所示，直線AB交軸于點A（4，0），交y軸于點B（0，-4），

（1）如圖，若C的坐標為（－1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標；

（2）在（1）的條件下，如圖2，連接OH，求證：∠OHP＝45°；

（3）如圖3，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連結MD，過點D作DN⊥DM交軸于N點，當M點在y軸正半軸上運動的過程中，式子S_△BDM－S_△ADN的值是否發生改變，如發生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．

                                                           

	（第28題圖）

 

Answer 1

                                                           

解（1）∵a＝4，b＝－4，則OA＝OB＝4．

∵AH⊥BC于H，∴∠OAP＋∠OPA＝∠BPH＋∠OBC＝90°，

∴∠OAP＝∠OBC

在△OAP與△OBC中，

∠COB＝∠POA＝90°，OA＝OB，∠OAP＝∠OBC，

△OAP≌△OBC（ASA）

∴OP＝OC＝1，則P（0，－1）

（2）過O分別做OM⊥CB于M點，ON⊥HA于N點，

在四邊形OMHN中，∠MON＝360°－3×90°＝90°，

∴∠COM＝∠PON＝90°－∠MOP．

在△COM與△PON中，

∵∠COM＝∠PON，∠OMC＝∠ONP＝90°，OC＝OP，

∴△COM≌△PON（AAS）（6分）

∴OM＝ON

HO平分∠CHA，∴∠OHP＝∠CHA＝45°

（3）S_△BDM－S_△ADN的值不發生改變．S_△BDM－S_△ADN＝4．

連接OD，則OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45°

∴OD＝OA，∴∠MDO＝∠NDA＝90°－∠MDA

在△ODM與△ADN中，∠MDO＝∠NDA，∠DOM＝∠DAN＝135°，OD＝OA，

∴△ODM≌△ADN（ASA），∴S_△ODM＝S_△ADN

S_△BDM－S_△ADN＝ S_△BDM－ S_△ODM＝ S_△BOD＝S_△AOB

＝×AO·BO=××4×4＝4．

（注意：對于方法眾多的問題解答，酌情給分）