Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°．翻折梯形ABCD，使點B重合于點D，折痕分別交邊AB、BC于點F、E．若AD=2，BC=8，則BE的長是

 

，CD：DE的值是

 

．

Answer 1

分析：首先作輔助線：過點A作AG⊥BC于G；根據折疊的性質，易得BE=DE，∠DEB=∠DEC=90°，易證四邊形AGED是矩形，△ABG≌△DCE，即可求得BE的長；又由勾股定理，即可求得CD的長，即得CD：DE的值．

解答：解：過點A作AG⊥BC于G，
∴∠AGC=∠AGB=90°，
由翻折變換的性質可知，
∵BE=DE，∠EDB=∠DBE=45°，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴△DEC為直角三角形，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴AG=DE，∠ADE=90°，
在Rt△ABG與Rt△DCE中，

AB=CD AG=DE

∴Rt△ABG≌Rt△DCE（HL），四邊形AGED是矩形，
∴BG=CE，AD=GE，
∴EC=BG=

1

2

（BC-GE）=

1

2

（BC-AD）=3，
∴BE=DE=5；
∴根據勾股定理得：CD=

DE2+CE2

=

52+32

=

34

，
∴CD：DE的值是

34

：5．

點評：此題是折疊問題，解題時要注意折疊前后的圖形全等．此題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識．注意作梯形的兩條高是梯形題目中的常見輔助線．