Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證∠DEC=∠DFA，即可得CE∥AF，根據CE=AF可得四邊形ACEF為平行四邊形；
（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根據AB、AC即可求得∠B的值．
解答：解：（1）∵DE為BC的垂直平分線，
∴∠EDB=90°，BD=DC，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴E為AB的中點，
∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，
∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，
∠DEC=∠DFA，
∴AF∥CE，
又∵AF=CE，
∴四邊形ACEF為平行四邊形；

（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE即可，
∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，
又∵∠BED=∠DEC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，又EB=EC，
∴AE=EC=EB，
∵CE=AB，
∴AC=AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴當∠B=30°時，AB=2AC，
故∠B=30°時，四邊形ACEF為菱形．
點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，垂直平分線的性質，本題中根據特殊角的正弦函數值求∠B的度數是解題的關鍵．