Question

已知正方形ABCD中，AB=5，E是直線BC上的一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交直線CD于點F．
（1）當E點在BC邊上運動時，設線段BE的長為x，線段CF的長為y，
①求y關于x的函數解析式及其定義域；
②根據①中所得y關于x的函數圖象，求當BE的長為何值時，線段CF最長，并求此時CF的長；
（2）當CF的長為

6

5

時，求tan∠EAF的值．

Answer 1

分析：（1）①由題意易得△CEF∽△BAE，根據對應邊成比例，可得y關于x的函數解析式，根據BC的長確定定義域即可；
②用配方法求得二次函數的最值即可；
（2）因為tan∠EAF=EF：AE，則由①的函數解析式求得BE的值，由相似三角形對應邊對應成比例，即可求得EF：AE=CF：BE．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE．（1分）
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE（1分）
∴

CF

BE

=

CE

AB

，
∴

y

x

=

5-x

5

，
∴y=-

1

5

x2+x（0＜x＜5）；（2分）
②y=-

1

5

x2+x=-

1

5

(x-

5

2

)2+

5

4

（1分）
根據函數圖象可知，拋物線y=-

1

5

(x-

5

2

)2+

5

4

，
開口向下，拋物線的頂點坐標是它的最高點、且x=

5

2

在函數的定義域內．
所以當BE的長為

5

2

時，CF的長最大為

5

4

（2分）

（2）若E在邊BC上，CF=y=

6

5

，y=-

1

5

x2+x
∴-

1

5

x2+x-

6

5

=0，
解得x₁=2，x₂=3，
當BE=2時，tan∠EAF=

3

5

；
當BE=3，時tan∠EAF=

2

5

．
若E在CB延長線上時，同理可得△CEF∽△BAE，
∴

CF

BE

=

CE

AB

，即

y

x

=

5+x

5

，
∴y=

1

5

x²+x，
∵CF=y=

6

5

，

1

5

x2+x-

6

5

=0，
解得：x₁=1，x₂=-6（舍去），
當BE=1時，tan∠EAF=

6

5

．
當E點可在BC的延長線上，CE=1，
tan∠EAF=

1

5

．

點評：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質的應用、二次函數的最值求法、直角三角形中銳角函數值的求法等知識點．