Question

如圖，已知△DAC和△ECB是兩個大小不同的等邊三角形，點A、C、B在同一直線上，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N．
（1）試說明：△ACE≌△DCB；
（2）連接MN，則MN∥AB，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCN=∠ECB+∠DCN，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠MEC=∠NBC，
∵∠MCN=180°-∠ACD-∠ECB=60°，
∴∠MCN=∠ECB，
在△MCE和△NCB中，，
∴△MCE≌△NCB（ASA），
∴MC=NC，
∴∠CNM=60°，
∴∠CNM=∠NCB=60°，
∴MN∥AB．
分析：（1）欲證三角形全等，利用全等的條件進行判定即可；因為△DAC和△ECB均為等邊三角形，即有∠ACD=∠ECB=60°，即∠ACD+∠DCN=∠ECB+∠DCN，即可得出∠ACE=∠DCB，再利用邊的關系，即可得證△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）由（1）可知，△ACE≌△DCB（SAS），即有∠MEC=∠NBC，從而可得∠MCN=60°，又因為∠MCN=∠ECB，且EC=CB，
即證△MCE≌△NCB從而可推出，即有∠CNM=∠NCB=60°，即證MN∥AB．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質，屬于中等題目，要求學生具備一定的幾何知識和解題能力．