Question

【題目】如圖1，反比例函數(k>0)圖象經過等邊△OAB的一個頂點B，點A坐標為（2，0），過點B作BM⊥x軸，垂足為M．

（1）求點B的坐標和k的值；

（2）若將△ABM沿直線AB翻折，得到△ABM'，判斷該反比例函數圖象是從點M'的上方經過，還是從點M'的下方經過，又或是恰好經過點M'，并說明理由；

（3）如圖2，在x軸上取一點A1，以AA1為邊長作等邊△AA1B1，恰好使點B1落在該反比例函數圖象上，連接BB1，求△ABB1的面積．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）該反比例函數圖象是從點M'的下方經過；理由見解析；（3）△ABB1的面積為.

【解析】

（1）由△OAB為等邊三角形及OA＝2，可得出OM，BM的長，進而可得出點B的坐標，由點B的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出k的值；

（2）過點M′作M′C⊥x軸，垂足為點C，由折疊的性質，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，在Rt△ACM′中，通過解直角三角形可求出AC，CM′的長，進而可得出OC的長，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出反比例函數圖象與直線CM′交點的縱坐標，將其與點M′的縱坐標比較后即可得出結論；

（3）過點B1作B1D⊥x軸，垂足為點D，設AA1＝a，則AD＝a，B1D＝a，OD＝2＋a，進而可得出點B1的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出a的值，進而可得出MD，B1D，AD的長，再結合S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1即可求出△ABB1的面積．

（1）∵△OAB為等邊三角形，OA＝2，

∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝，

∴點B的坐標為（1，）．

∵反比例函數圖象經過點B，

∴k＝．

（2）該反比例函數圖象是從點M'的下方經過，理由如下：

過點M′作M′C⊥x軸，垂足為點C，如圖1所示．

由折疊的性質，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，

∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．

在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，

∴∠AM′C＝30°，

∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．

∴OC＝OA+AC＝，

∴點M′的坐標為（，）．

當x＝時，，

∵＜，

∴該反比例函數圖象是從點M'的下方經過．

（3）過點B1作B1D⊥x軸，垂足為點D，如圖2所示．

設AA1＝a，則AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，

∴點B1的坐標為（2+a，a）．

∵點B1在該反比例函數的圖象上，

∴（2+a）a＝，

解得：a1＝﹣2﹣2（舍去），a2＝2﹣2，

∴MD＝AM+AD＝，B1D＝a＝﹣，AD＝a＝﹣1，

∴S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1

＝（BM+B1D）MD﹣BMAM﹣B1DAD，

，

.