Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，點F在直線AD上且橫坐標為6．

（1）求該拋物線解析式并判斷F點是否在該拋物線上；
（2）如圖，動點P從點C出發，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；
同時，動點M從點A出發，沿線段AE以每秒

13

2

個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．
①問EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此時t的值．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質得出A，C，D的坐標，進而得出拋物線解析式，再求出AD的解析式，再利用圖象上點的性質得出即可；
（2）①首先得出P點位置，再求出FC的解析式，即可得出t的值；
②分別根據當PM=HM時，當PH=HM時，當PH=PM時求出即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，
∴C點坐標為：（0，3），A點坐標為：（4，0），D點坐標為：（2，3），
將B，C點代入y=-

1

2

x²+bx+c得：

c=3 -8+4b+c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴該拋物線解析式為：y=-

1

2

x²+2x+3，
設過D，A的直線解析式為：y=ax+k，
則

4a+k=0 2a+k=3

，
解得：

a=- 3 2 k=6

，
∴直線AD的解析式為；y=-

3

2

x+6，
∵點F在直線AD上且橫坐標為6，
∴y=-

3

2

×6+6=-3，
∴F點坐標為：（6，-3），將F點代入拋物線解析式得出：右邊=-

1

2

×36+12+3=-3，
∴F點在該拋物線上；

（2）①∵E（0，6），
∴CE=CO，
如圖1，
連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，
當P 運動到P′，當H運動到H′時，EP+PH+HF的值最小．
設直線CF的解析式為y=ax+b
∵C（0，3）、F（6，-3）
∴

b=3 6a+b=-3

，
∴

a=-1 b=3

，
∴y=-x+3；
當y=0時，x=3，
∴H′（3，0）
∴CP=3，
∴t=3；
②如圖2，過M作MN⊥OA交OA于N，
∵NM∥EO，
∴△AMN∽△AEO，
∴

AM

AE

=

AN

AO

=

MN

EO

，
∵EO=6，AO=4，
∴AE=2

13

，
∴

13 2 t

2 13

=

AN

4

=

MN

6

，
∴AN=t，MN=

3

2

t
I．如圖2，當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，
∴MN=

1

2

PH，
∴MN=

3

2

t=

3

2

，
∴解得：t=1
II．如圖3，當PH=HM時，MH=3，MN=

3

2

t，
HN=OA-AN-OH=4-2t，
 在Rt△HMN中，
MN²+HN²=MH²，
（

3

2

t）²+（4-2t）²=3²，
整理得：25t²-64t+28=0 
解得：t₁=2（舍去），t₂=

14

25

，
III．如圖4，如圖5，當PH=PM時，PM=3，MT=|3-

3

2

t|，
PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
在Rt△PMT中，MT²+PT²=PM²，
（3-

3

2

t）²+（4-2t）²=3²，
整理得出：25t²-100t+64=0，
解得：t₁=

16

5

，t₂=

4

5

，
∴綜上所述：t=

14

25

，

4

5

，1，

16

5

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及勾股定理的應用和相似三角形的判定與性質等知識，根據分類討論的思想得出注意不要漏解是解題關鍵．