Question

如圖，用兩段等長的鐵絲恰好可以分別圍成一個正五邊形和一個正六邊形，其中正五邊形的邊長為（x²+17）cm，正六邊形的邊長為（x²+2x）cm（其中x＞0）．求正六邊形的面積．

Answer 1

分析：根據正五邊形和正六邊形的周長相等，列一元二次方程求x的值，得出正六邊形的邊長，再根據所求邊長求正六邊形的面積．

解答：解：由已知得，正五邊形周長為5（x²+17）cm，正六邊形周長為6（x²+2x）cm，
∵正五邊形和正六邊形的周長相等，
∴5（x²+17）=6（x²+2x），
整理得x²+12x-85=0，配方得（x+6）²=121，
解得x₁=5，x₂=-17（舍去），
故正六邊形的面積為6×

3

4

×5²=

75 3

2

（cm²）．
答：正六邊形的面積為

75 3

2

cm²．

點評：本題考查了一元二次方程的應用，正多邊形和圓的知識．關鍵是根據題意找出等量關系列一元二次方程求x的值，從而確定正六邊形的邊長．