Question

（1）如圖①所示，P是等邊△ABC內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉60°得△BCQ，連接PQ．若PA²+PB²=PC²，證明∠PQC=90°；
（2）如圖②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉90°得△BCQ，連接PQ．當PA、PB、PC滿足什么條件時，∠PQC=90°？請說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉的性質可得到的條件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可證得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，聯立BP=BQ，即可得到△BPQ是等邊三角形的結論，則BP=PQ；將等量線段代換后，即可得出PQ²+QC²=PC²，由此可證得∠PQC=90°；
（2）由（1）的解題思路知：△PBQ是等腰Rt△，則PQ²=2PB²，其余過程同（1），只不過所得結論稍有不同．
解答：解：（1）證明：由旋轉的性質知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等邊三角形；
∴BP=PQ；
∵PA²+PB²=PC²，即PQ²+QC²=PC²；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；

（2）PA²+2PB²=PC²；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，則PQ=PB，即PQ²=2PB²；
由旋轉的性質知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，則PQ²+QC²=PC²，即PA²+2PB²=PC²；
故當PA²+2PB²=PC²時，∠PQC=90°．
點評：此題考查了等邊三角形、等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，直角三角形的判定及勾股定理的應用等知識，能夠正確的判斷出△BPQ的形狀，從而得到BP、PQ的數量關系，是解答此題的關鍵．