Question

如圖，點A是函數y=

1

x

的圖象上的點，點B、C的坐標分別為B（-

2

，-

2

）、C（

2

，

2

），試利用性質：“函數y=

1

x

的圖象上任意一點A都滿足|AB-AC|=2

2

”求解下面問題：作∠BAC的內角平分線AE，過B作AE的垂線交AE于F，已知當點A在函數y=

1

x

的圖象上運動時，點F總在一個圓上運動，則這圓的半徑為（　　）

• A、1
• B、

  2

  2

• C、

  2

• D、

  3 2

  2

Answer 1

分析：本題給出了角平分線，給出了兩條線段的定值差，因此可通過構建等腰三角形作出這個等值差進行求解．

解答：解：如圖：過C作CD⊥AF，垂足為M，交AB于D，
∵AF平分∠BAC，且AM是DC邊上的高，
∴△DAC是等腰三角形，
∴AD=AC，
∴BD=AB-AC=2

2

，
即BD長為定值，
過M作MN∥BD于N，
則四邊形MNBD是個平行四邊形，
∴MN=BD，
在△MNF中，無論F怎么變化，有兩個條件不變：
①MN的長為定值，②∠MFN=90°，
因此如果作△MNF的外接圓，那么F點總在以MN為直徑的圓上運動，因此F點的運動軌跡應該是個圓．
∴圓的直徑為MN，且MN=BD，BD=AB-AC=2

2

，
∴圓的半徑為

2

．
故選C．

點評：本題以反比例函數為背景，結合了等腰三角形的知識、平行四邊形的知識、直角三角形的知識、三角形外接圓的知識等．綜合性強．在本題中能夠找出AB、AC的等值差以及讓F與這個等值差相關聯是解題的關鍵．