Question

說出下列命題的逆命題，并判斷逆命題的真假．若逆命題是真命題，請加以證明；若逆命題是假命題，請舉出反例．
（1）如果a、b都是無理數，那么ab也是無理數；
（2）等腰三角形兩腰上的高相等．

Answer 1

分析：（1）把原命題的題設和結論互換可得到其逆命題，利用反例說明逆命題為假命題；
（2）把原命題的題設和結論互換可得到其逆命題，然后根據三角形面積公式和等腰三角形的定義證明其逆命題為真命題．

解答：解：（1）逆命題為：如果ab是無理數，那么a、b都是無理數．
此逆命題為假命題．例如：如果ab=2

3

，那么a=2，b=

3

．
（2）逆命題是：如果一個三角形兩邊上的高相等，則這個三角形是等腰三角形．
此逆命題是真命題．證明如下：
已知：如圖，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，
求證：AB=AC．
證明：∵S_△ABC=

1

2

AB•CF=

1

2

AC•BE，
而BE=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

點評：本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．