Question

已知實數a，b，c滿足關系式|a-2|+（b-3）²=0，（c-4）²≤0．
（1）求a，b，c的值，并在平面直角坐標系中，描出點A（0，a），B（b，0），C（b，c）三點；
（2）如果在第二象限內有一點P（m，1），請用含m的式子表示三角形POA的面積；
（3）在（2）的條件下，是否存在一點P，使四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵|a-2|+（b-3）²=0，（c-4）²≤0，
∴a-2=0，b-3=0，c-4=0，
∴a=2，b=3，c=4，
∴點A、B、C在平面直角坐標系中的位置如1圖所示．

（2）如圖2，過點P作PD⊥y軸，則PD=-m，
故三角形POA的面積=

1

2

OA•PD=

1

2

×2×（-m）=-m，即三角形POA的面積是-m；

（3）存在．理由如下：如圖2，過點A做AE⊥BC于點E．則AE=3．
故△ABC的面積是6．
∵S_{四邊形ABOP}=S_△AOB+S_△AOP=3-m，
∴設存在點P使四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等，即3-m=6，
解得m=-3，
∴P（-3，1）．