Question

10．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC，BC分別于點E，D兩點，連結ED，BE．
（1）求證：$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$．
（2）若BC=6．AB=5，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據圓周角定理得到AD⊥BC，根據等腰三角形的性質得到CD=BD，根據弦、弧、圓心角的關系定理證明結論；
（2）連接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根據勾股定理求出AD，根據三角形中位線定理求出OF，根據三角形的面積公式求出BH，根據垂徑定理解答．

解答 （1）證明：連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴CD=BD，
∵A、E、D、B四點共圓，
∴∠CED=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=∠CED，
∴DE=DC，
∴DE=BD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$；
（2）解：連接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，
BD=$\frac{1}{2}$BC=3，AB=5，
又勾股定理得，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF∥AD，又OA=OB，
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=2，
則$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×BH=$\frac{1}{2}$×3×2，
解得，BH=$\frac{12}{5}$，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴BE=2BH=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查的是圓周角定理、弦、弧、圓心角的關系、垂徑定理的應用，掌握相關定理、并靈活運用是解題的關鍵．