Question

已知k為整數，若關于x的二次方程kx²+（2k+3）x+l=O有有理根，則k的值是

 

．

Answer 1

分析：先根據原方程有有理根可得出此方程的判別式為完全平方數即=（2k+3）²-4k為完全平方數，設（2k+3）²-4k=m²（m為正整數），即4k²+8k+9-m²=0，再把此式看作關于k的二次方程，由題設可知此方程有整數根，再根據此方程的判別式為完全平方數即可得到關于n、m的方程組，求出m、n的值，進而可求出k的值．

解答：解：∵關于x的二次方程kx²+（2k+3）x+l=O有有理根，
∴△₁=（2k+3）²-4k為完全平方數，
設（2k+3）²-4k=m²（m為正整數），即4k²+8k+9-m²=0①，
將①式看作關于k的二次方程，由題設可知此方程有整數根，故①式的判別式△₂=64-16（9-m²）=16（m²-5）應為完全平方數，
令m²-5=n²（n為正整數，且m＞n），則有（m+n）（m-n）=5，
∴

m+n=5 m-n=1

，解得

m=3 n=2

，
將m=3代入①式得k=-2或k=0（舍去），
∴k=-2．
故答案為：-2．

點評：本題考查的是一元二次方程的整數根與有理根，解答此題的關鍵是熟知若方程有有理根，則此方程的判別式必為完全平方數這一關鍵知識點．