Question

已知：拋物線y=（k-1）x²+2kx+k-2與x軸有兩個不同的交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k為整數，且關于x的方程3x=kx-1的解是負數時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線和x軸所圍成的封閉圖形內畫出一個最大的正方形，使得正方形的一邊在x軸上，其對邊的兩個端點在拋物線上，試求出這個最大正方形的邊長？

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=（k-1）x²+2kx+k-2與x軸有兩個不同的交點，根的判別式△＞0，解得k的取值范圍．
（2）當k為整數，且關于x的方程3x=kx-1的解是負數時，可以解得k的整數值．
（3）設最大正方形ABCD的邊長為m，則B、C兩點的縱坐標為-m，且由對稱性可知，B、C兩點關于拋物線對稱軸對稱，求出點C的坐標，C點代入拋物線，解得m．

解答：解：（1）△=4k²-4（k-1）（k-2）=12k-8，
依題意，得

△=12k-8＞0 k-1≠0

，
∴k的取值范圍是k＞

2

3

且k≠1，①

（2）解方程3x=kx-1，
得x=

-1

3-k

，
∵方程3x=kx-1的解是負數，
∴3-k＞0．
∴k＜3，②（4分）
綜合①②，可得k的取值范圍是k＞

2

3

且k≠1，k＜3，再由k為整數，可得k=2，
∴拋物線解析式為y=x²+4x．

（3）如圖，設最大正方形ABCD的邊長為m，則B、C兩點的縱坐標為-m，
且由對稱性可知：B、C兩點關于拋物線對稱軸對稱，
∵拋物線的對稱軸為：x=-2，
∴點C的坐標為（-2+

m

2

，-m），
∵C點在拋物線上，
∴(-2+

m

2

)2+4(-2+

m

2

)=-m．
整理，得m²+4m-16=0，
∴m=

-4±4 5

2

=-2±2

5

（舍負）
∴m=2

5

-2．

點評：本題二次函數的綜合題，要求會求二次函數的解析式，會判定兩圖象交點個數和求拋物線對稱軸，本題步驟有點多，做題需要細心．