Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，已知直線與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線圖像過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，

（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標；

（2）若在y軸負半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸：直線，B(-1,0)（2）D點坐標是（0，－）

【解析】

試題分析：（1）求出點A和點C的坐標，然后代入，求出k的值可得函數解析式；然后可求出對稱軸以及B點坐標；（2）分△CAD∽△ABC和△CDA∽△ABC兩種情況討論，利用相似三角形的性質可求出CD的長，然后可求出點D的坐標.

試題解析：（1）∵直線與x軸、y軸分別相交于點A和點C

∴得：A(-4，0), C(0，4)

∵拋物線圖像過點A和點C，

代入點A或點C坐標得：k=5

∴

對稱軸：直線

令y=0，得

解方程得 ∴B(-1,0)

（2）AC＝4，AB＝3．

根據題意, AO=CO=4，∴∠CAB＝∠ACD= 45°

當△CAD∽△ABC時，CD︰AC＝CA︰AB，

即CD︰4＝4︰3，∴CD＝ ∴點（0，－）；

當△CDA∽△ABC時，CD︰AB＝CA︰AC，

即CD＝AB＝3 , ∴點（0，1）；

∵點D在y軸負半軸上∴（0，1）舍去

∴綜上所述：D點坐標是（0，－）