Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，點E在CB延長線上，BE=AD，連接AC、AE．
（1）求證：AE=AC；
（2）若AB⊥AC，F是BC的中點，試判斷四邊形AFCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接BD，根據等腰梯形的性質，可得AC=BD，易得四邊形AEBD是平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等，即可得AE=BD，繼而證得結論；
（2）由AB⊥AC，F是BC的中點，根據等腰梯形的性質，易求得∠ACB=30°，繼而可證得AF=FC=CD=AD，則可判定四邊形AFCD是菱形．
解答：（1）證明：連接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵AD∥BC，BE=AD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∴AE=BD，
∴AE=AC；

（2）四邊形AFCD是菱形．
證明：∵AB⊥AC，F是BC的中點，
∴AF=BF=CF=BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB=2∠ACB，
∵AB⊥AC，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB，
∵AD=AB=CD，
∴FC=AB=AD=CD=AF，
∴四邊形AFCD是菱形．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、平行四邊形的判定與性質以及菱形的判定．此題難度適中，注意準確作出輔助線，注意數形結合思想的應用．