Question

如圖，梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，cosC=

2

10

．
（1）求BC的長；
（2）試在邊AB上確定點P的位置，使△PAD∽△PBC．

Answer 1

分析：（1）過D作BC的垂線，垂足為E，則四邊形ABED是矩形，在Rt△CDE中，由三角函數可求EC的值，進而可求BC的長；
（2）設AP=t（t＞0），有兩種情況：可先證當

AD

BP

=

AP

BC

時，使得△PAD∽△PBC，代值求得AP=1，或AP=6．或當

AD

BC

=

AP

BP

時，△PAD∽△PBC，代值求得AP=

14

5

．

解答：解：（1）過D作BC的垂線，垂足為E、設EC=x，（x＞0）（1分）
∵梯形ABCD中AD∥BC且∠A=90°
∴ABED是矩形，
∴AB=DE=7，AD=BE=2，
在Rt△CDE中，cosC=

EC

DC

=

x

x2+49

=

2

10

（2分）
解得x=1，即EC=1．
∴BC=BE+EC=3．（2分）

（2）設AP=t（t＞0），則BP=7-t，∵AB∥CD，且∠A=90°，
∴∠B=90°，
當

AD

BP

=

AP

BC

時，使得△PAD∽△PBC，
∵AD=2，BC=3，則有

2

7-t

=

t

3

，整理得t²-7t+6=0，
解得t₁=1，t₂=6．（2分）
即AP=1，或AP=6．
∴當AP=1，或AP=6時，△PAD∽△PBC；（ 1分）
當

AD

BC

=

AP

BP

時，△PAD∽△PBC，
∵AD=2，BC=3，則有

2

3

=

t

7-t

，整理得5t=14，解得t=

14

5

．（2分）
即AP=

14

5

．
∴當AP=

14

5

時，△PAD∽△PBC．（1分）

點評：本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊成比例、對應角相等，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．