Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，以BC為直徑的⊙M交x軸正半軸于點A、B，交y軸正半軸于點E、F，過點C作CD垂直y軸，垂足為點D，連接AM并延長交⊙M于點P，連接PE．
（1）求證：∠FAO=∠EAM；
（2）若二次函數(shù)y=-x²+px+q的圖象經(jīng)過點B、C、E，且以C為頂點，當點B的橫坐標等于2時，四邊形OECB的面積是

11

4

，求這個二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形APEF是⊙M的內接四邊形的性質可知∠APE=∠AFO，利用EAM=90°-∠APE，∠FAO=90°-∠AFO得到∠EAM=∠FAO；
（2）利用頂點公式可知C點的坐標(

p

2

，

p2+4q

4

)，圖象過E點，得E點的坐標為（0，q），連接AC，OC，則AC⊥OB，CD⊥y軸，AO⊥OD，可證明四邊形OACD為矩形，得到DC=OA，S_△OCB=

1

2

OB•AC=

1

2

×2×

4q+p2

4

=

4q+p2

4

，S_△OCE=

1

2

OE•CD=

1

2

q•

p

2

=

pq

4

，所以p²+pq+4q=11，把點B（2，0）代入可得2p+q-4=0，聯(lián)立方程組解得p=1，q=2，所以過B、C、E三點的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+x+2．

解答：（1）證明：如圖，
∵四邊形APEF是⊙M的內接四邊形
∴∠APE=∠AFO
∵AP為⊙M的直徑
∴∠EAM=90°-∠APE
∵∠FAO=90°-∠AFO
∴∠EAM=∠FAO（3分）．

（2）解：因為二次函數(shù)y=-x²+px+q的圖象的頂點為C點，
所以得C點的坐標(

p

2

，

p2+4q

4

)，
∵圖象過E點，
∴得E點的坐標為（0，q）．（4分）
連接AC，則AC⊥OB，∵CD⊥y軸，AO⊥OD，
∴四邊形OACD為矩形
∴DC=OA，連接OC，
S_△OCB=

1

2

OB•AC=

1

2

×2×

4q+p2

4

=

4q+p2

4

S_△OCE=

1

2

OE•CD=

1

2

q•

p

2

=

pq

4

∴

p2+4q+pq

4

=

11

4

即p²+pq+4q=11（6分）
∵點B（2，0）在拋物線y=-x²+px+q上
∴2p+q-4=0，聯(lián)立

p2+pq+4q=11 2p+q-4=0

．
解這個方程組，得

p=1 q=2

&&

p=-5

（不合題意，舍去）
∴過B、C、E三點的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+x+2．（9分）

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點圓內接四邊形的性質，二次函數(shù)頂點坐標求法以及函數(shù)的交點的意義等，要熟練掌握才能靈活運用．