Question

在一次課外實踐活動中，同學們要測湘江河的寬度．如圖1所示，小明先在河西選定建筑物A，并在河東岸的B處觀察，此時視線BA在河岸BE所成的夾角∠ABE=32°，小明沿河岸BE走了400米到C處，再觀察A，此時視線CA與河岸所成的夾角∠ACE=64°．
（1）請你根據以上數據，幫助小明計算出湘江河的寬度（結果精確到0.1米）．
（2）求出湘江河寬后，小明突發奇想，欲求B的正對岸建筑物的高度MN（如圖2所示），現測得小明的眼睛與地面的距離（FB）是1.6m，看建筑物頂部M的仰角（∠MFG）是8°，BN為湘江河寬，求建筑物的高度MN（結果精確到0.1米）．
（提示：河的兩岸互相平行；參考數值：sin32°≈0.530；cos32°≈0.848；
tan32°≈0.625；sin64°≈0.900；cos64°≈0.438；tan64°≈2.050；
sin8°≈0.139；cos8°≈0.990；tan8°≈0.141）

Answer 1

分析：（1）如圖，過A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，可以用AD根據三角函數表示線段BD的長度，然后同樣的方法在R
t△ACD中用AD表示線段CD的長度，而BC=400，由此即可得到關于AD的方程，解方程即可求解；
（2）根據（1）知道線段BN的長度，同時利用已知條件可以知道FC的長度，然后在Rt△MFG中利用三角函數和已知條件可以求出CM的長度，然后加上線段FB的長度即可求出建筑物的高度MN；

解答：解：（1）如圖，過A作AD⊥BC于D，
∴AD就是湘江河的寬度，
在Rt△ABD中，∠ABE=32°，
∴BD=

AD

tan32°

在Rt△ACD中，∠ACD=64°，
CD=

AD

tan64°

，
而BD-CD=BC，
∴

AD

tan32°

-

AD

tan64°

=400，
∴AD≈359.6米；

（2）由（1）得BN=AD=359.6米，
依題意得FG=NB，FB=NG，
在Rt△MFG中，GM=FG•tan∠MFG=FG•tan8°=50.70米，
∴MN=MG+NG=50.70+1.6≈52.3米．
∴建筑物的高度MN為52.3米．

點評：此題主要考查了視角及其解直角三角形的應用，解題時首先正確理解視角的定義，然后利用三角函數和已知條件即可解決問題．