Question

已知：如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關______；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：______個；
（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．利用（1）的結論，試求∠P的度數；
（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結論即可）

Answer 1

解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C，
∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交點有點M、O、N，
以M為交點有1個，為△AMD與△CMP，
以O為交點有4個，為△AOD與△COB，△AOM與△CON，△AOM與△COB，△CON與△AOD，
以N為交點有1個，為△ANP與△CNB，
所以，“8字形”圖形共有6個；

（3）∵∠D=40°，∠B=36°，
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，
∴∠OCB-∠OAD=4°，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=（∠OAD-∠OCB）+∠D=×（-4°）+40°=38°；


（4）根據“8字形”數量關系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，
∴（∠D-∠B）=∠D-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D．
分析：（1）利用三角形的內角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據對頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根據“8字形”的結構特點，根據交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；
（3）根據（1）的關系式求出∠OCB-∠OAD，再根據角平分線的定義求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的關系式列式整理即可得解；
（4）根據“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，然后根據角平分線的定義可得∠DAM-∠PCM=（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得證．
點評：本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，多邊形的內角和定理，對頂角相等的性質，整體思想的利用是解題的關鍵．