Question

作圖題：
（1）已知直線L及L同側(cè)兩點(diǎn)A、B．請(qǐng)你在直線L上確定一點(diǎn)P使P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小．
（2）已知直線L及L異側(cè)兩點(diǎn)A、B．請(qǐng)你在直線L上確定一點(diǎn)P使P到A、B兩點(diǎn)的距離差最大；
（3）已知如圖△ABC，①畫∠ABC和∠ACB的角平分線交于O，并判斷O到△ABC三邊的距離有什么關(guān)系？
②再畫∠BAC的平分線，結(jié)合①你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
③△ABC周長為30，O到BC的距離為2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與直線l的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，因?yàn)镻A=PA′，所以求PA+PB的最大；
（2）作A關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)A₁，連接A₁B，并延長交L于的P，P即為所求的點(diǎn)；PA=PA₁，P點(diǎn)與A，B的差PB-PA=PB-PA₁=A₁B．
下面證明A₁B是P到A、B兩點(diǎn)的距離差最大值：在L上取一個(gè)不同于P點(diǎn)的點(diǎn)P₁，這樣P₁A₁B就構(gòu)成一三角形，P₁A₁=P₁A；
根據(jù)兩邊之差小于第三邊，有P₁A₁-P₁B＜A₁B即：P₁A-P₁B＜A₁B所以除P點(diǎn)外，任何一點(diǎn)與A，B的距離差都小于A₁B，即P點(diǎn)與A，B的距離差的最大值是A₁B，所以P點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．
（3）用尺規(guī)作圖法：以角A中A點(diǎn)為頂點(diǎn)，以任意長為半徑畫圓，圓與∠A兩條邊相交點(diǎn)設(shè)為M，N；再分別以M，N為頂點(diǎn)，任意長為半徑畫圓，兩個(gè)圓在角A兩條邊之間的交點(diǎn)與A點(diǎn)連線即為∠A的角平分線．同理可以畫出其他兩角的角平分線．然后利用角平分線定理證明就行了．

解答：解：（1）（2）如圖．


（3）①根據(jù)角平分線定理可以得出：O到△ABC三邊的距離相等；
②三條角平分線相交于點(diǎn)O；
③點(diǎn)O為三角形ABC的三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，到三邊的距離相等，OD=2，
S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC
=（AB+AC+BC）×

OD

2

=30．

點(diǎn)評(píng)：本問對(duì)學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用角平分線定理、對(duì)稱等基礎(chǔ)知識(shí)解決問題能力的考查．