Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2﹣2x﹣3與x軸交于點A、B（3，0），交y軸于點C

（1）求a的值．

（2）過點B的直線1與（1）中的拋物線有且只有一個公共點，則直線1的解析式為　 　．

（3）如圖2，已知F（0，﹣7），過點F的直線m：y＝kx﹣7與拋物線y＝x2﹣2x﹣3交于M、N兩點，當S△CMN＝4時，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）直線的表達式為：x＝3或y＝4x﹣12；（3）k＝﹣2±2．

【解析】

（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，即可求解；

（2）當直線與y軸平行時，直線l的解析式為：x＝﹣3；當直線與y軸不平行時，設：直線1的解析式為：y＝kx+b，由△＝0即可求解；

（3）聯立得：x2﹣（2+k）x+4＝0，由S△CMN＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|xM﹣xN|＝4，即可求解．

解：（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，

得：0＝9a﹣6﹣3，∴a＝1；

（2）當直線與y軸平行時，直線l的解析式為：x＝﹣3

當直線與y軸不平行時，設：直線1的解析式為：y＝kx+b，

將點B坐標代入上式，解得：b＝﹣3k

則直線的表達式為：y＝kx﹣3k…①，

拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…②，

聯立①②并整理得：x2﹣（k+2）x+（3k﹣3）＝0，

△＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（3k﹣3）＝0，

解得：k＝4，

故：直線的表達式為：x＝3或y＝4x﹣12；

（3）聯立 得：x2﹣（2+k）x+4＝0，

xM+xN＝k+2，xMxN＝4，

∵S△CMN＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|xM﹣xN|＝4，

∴×4×＝4，

即：（k+2）2＝20，

解得：k＝﹣2±2．