Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探究新知
如圖①，⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G．
（1）求證：內切圓的半徑r₁=1； 
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）結論應用
（1）如圖②，若半徑為r₂的兩個等圓⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求r₂的值；
（2）如圖③，若半徑為r_n的n個等圓⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O_n與BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均與AB相切，求r_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（1）根據切線的性質以及正方形的判定得出四邊形CEOF是正方形，進而得出CE=CF=r₁，再利用切線長定理求出即可；
（2）在Rt△AOG中，根據r₁=1，AG=3-r₁=2，求出tan∠OAG的值即可；
（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，同理可得：tan∠O₂BE==，進而得出AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂，即可求出r₂=；
（2）根據（1）中所求可以得出AD=2r_n，DE=2r_n，…，MB=3r_n，得到2r_n+2r_n+…+3r_n=5，求出即可．
解答：（Ⅰ）（1）證明：在圖①中，連接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四邊形CEOF是矩形，
又∵EO=OF，
∴四邊形CEOF是正方形，
CE=CF=r₁．
又∵AG=AE=3-r₁，BG=BF=4-r₁，
AG+BG=5，
∴（3-r₁）+（4-r₁）=5．
即r₁=1．


（2）解：連接OG，在Rt△AOG中，
∵r₁=1，AG=3-r₁=2，
tan∠OAG==；       
         
（Ⅱ）（1）解：連接O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于點D、O₂E⊥AB交于點E，AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，
同理可得：tan∠O₂BE==，
∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂．
∵AD+DE+BE=5，
r₂=；
                                
（2）解：如圖③，連接O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于點D、O₂E⊥AB交于點E、…、O_nM⊥AB交于點M．
則AO₁、BO_n分別平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O₁AD=，tan∠O_nBM=，
AD=2r_n，DE=2r_n，…，MB=3r_n，
又∵AD+DE+…+MB=5，
2r_n+2r_n+…+3r_n=5，
（2n+3）r_n=5，
r_n=．
點評：此題主要考查了切線長定理以及銳角三角函數關系以及相切兩圓的性質，根據已知得出tan∠O₁AD=，tan∠O₂BE==是解題關鍵．