Question

如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的三個頂點的坐標分別是A（4，3），O（0，0），B（6，0）．點M是OB邊上異于O，B的一動點，過點M作MN∥AB，點P是AB邊上的任意點，連接AM，PM，PN，BN．設點M（x，0），△PMN的面積為S．

（1）求出OA所在直線的解析式，并求出點M的坐標為（1，0）時，點N的坐標；

（2）求出S關于x的函數關系式，寫出x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）若S：S_△ANB=2：3時，求出此時N點的坐標．

Answer 1

解：（1）設直線OA的解析式為y=k₁ x，∵A（4，3），

∴3=4k₁，解得k₁=，

∴OA所在的直線的解析式為：y=x，

同理可求得直線AB的解析式為；y=﹣x+9，

∵MN∥AB，

∴設直線MN的解析式為y=﹣x+b，把M（1，0）代入得：b=，

∴直線MN的解析式為y=﹣x+，

解，得，

∴N（，）．

 

（2）如圖2，作NH⊥OB于H，AG⊥OB于G，則AG=3．

∵MN∥AB，

∴△MBN的面積=△PMN的面積=S，

∴△OMN∽△OBA，

∴NH：AG=OM：OB，

∴NH：3=x：6，即NH=x，

∴S=MB•NH=×（6﹣x）×x=﹣（x﹣3）²+（0＜x＜6），

∴當x=3時，S有最大值，最大值為．

 

（3）如圖2，∵MN∥AB，

∴△AMB的面積=△ANB的面積=S_△ANB，△NMB的面積=△NMP的面積=S

∵S：S_△ANB=2：3，

∴MB•NH：MB•AG=2：3，即NH；AG=2：3，

∵AG⊥OB于G，NH⊥OB，

∴NH∥AG，

∴ON：OA=NH：AG=2：3，

∵MN∥AB，

∴OM：OB=ON：OA=2：3，

∵OA=6，

∴=，

∴OM=4，

∴M（4，0）

∵直線AB的解析式為；y=﹣x+9，

∴設直線MN的解析式y=﹣x+b

∴代入得：0=﹣×4+b，

解得b=6，

∴直線MN的解析式為y=﹣x+6，

解得，

∴N（，2）．