Question

【題目】（閱讀資料）

同學們，我們學過用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代數式的最值．

（1）求4x2+16x+19的最小值．

解：4x2+16x+19＝4x2+16x+16+3＝4（x+2）2+3

因（x+2）2大于等于0，所以4x2+16x+19大于等于3，即4x2+16x+19的最小值是3．此時，x＝﹣2

（2）求﹣m2﹣m+2的最大值

解：﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+m）+2＝﹣

因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣

小于等于，即﹣m2﹣m+2的最大值是，此時，m＝﹣．

（探索發現）

如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大．下面給出了未寫完的證明，請你閱讀下面的證明并寫出余下的證明部分，并求出矩形的最大面積與原三角形面積的比值．

解：在AC上任取點E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．設EF＝x

易證△AEF∽△ACB，則，，，…

請你寫出剩余部分

（拓展應用）

如圖②，在△ABC中，BC＝a，BC邊上的高AD＝h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為　 　．（用含a，h的代數式表示）

（靈活應用）

如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），該矩形的面積為　 　．（直接寫出答案）

（實際應用）

如圖④，現有一塊四邊形的木板余料ABCD，經測量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，該矩形的面積為　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】(探索發現)詳見解析;( 拓展應用) ;(靈活應用) 720;( 實際應用) 1458cm2．

【解析】

探索發現：利用配方法解決問題即可；

拓展應用：利用相似三角形構建關于面積的二次函數，再利用配方法解決問題即可；

靈活應用：如圖③，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，轉化為圖②中模型解決問題即可．

實際應用：如圖④，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，轉化為圖②中模型解決問題即可．

解：探索發現：，

∵，

∴矩形BDEF的面積的最大值為12；

拓展應用：設PN＝b，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴＝，

∵BC＝a，BC邊上的高AD＝h，

∴＝，即PQ＝，

∴S＝bPQ＝＝﹣b2+bh＝﹣（x﹣）2+≥，

∴S的最大值為：，即矩形PQMN面積的最大值為，

故答案為：；

靈活應用：如圖③，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，

∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，

∴EH＝20、DH＝16，

∴AE＝EH、CD＝DH，

在△AEF和△HED中，

∵，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF＝DH＝16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG＝HE＝20，

∴BI＝＝24，

∵BI＝24＜32，

∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

過點K作KL⊥BC于點L，

由【探索發現】知矩形的最大面積為×BG×BF＝×（40+20）×（32+16）＝720，

故答案為720；

實際應用：如圖④，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，

∵∠B＝∠C＝60°，

∴EB＝EC，∵EH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵＝tan60°＝，

設CH＝BH＝x，則EH＝x，

∵BC＝BH+CH＝108＝2x，

解得：x＝54，

∴BH＝CH＝54，EH＝54，

∴EB＝EC＝2BH＝108，

∵AB＝70，

∴AE＝38，

∴BE的中點Q在線段AB上，

∵CD＝76，

∴CE的中點P在線段CD上，

∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，

由【探索發現】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH＝×108×54＝1458cm2，

故答案為1458cm2．