Question

我們知道三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．經過證明我們可得三角形重心具備下面的性質：重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為2﹕1．請你用此性質解決下面的問題．
已知：如圖，點O為等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直線m過點O，過A、B、C三點分別作直線m的垂線，垂足分別為點D、E、F．
（1）當直線m與BC平行時（如圖1），請你猜想線段BE、CF和AD三者之間的數量關系并證明；
（2）當直線m繞點O旋轉到與BC不平行時，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF三者之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，不需證明．

Answer 1

分析：（1）延長AO交BC于M點，由O為等腰直角三角形ABC的重心可得AO=2MO；再通過證明BCFE為矩形，可得BE=MO=CF，即可得AD=EB+CF；
（2）連接AO并延長交BC于點G，過G做GH⊥EF于H，由重心可得AO=2MO；再通過證明△AOD∽△GOH得AD=2HG；然后證得H為EF的中點，據中位線定理HG=

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2

（EB+CF），即可得AD=EB+CF；
（3）圖3不成立，CF-BE=AD．

解答：（1）猜想：BE+CF=AD（1分）
證明：如圖，延長AO交BC于M點，
∵點O為等腰直角三角形ABC的重心
∴AO=2OM且AM⊥BC
又∵EF∥BC∴AM⊥EF
∵BE⊥EF，CF⊥EF
∴EB∥OM∥CF
∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD．（3分）

（2）圖2結論：BE+CF=AD
證明：連接AO并延長交BC于點G，
過G做GH⊥EF于H，
由重心性質可得AO=2OG，
∵∠ADO=∠OHG=90°，∠AOD=∠HOG，
∴△AOD∽△GOH，
∴AD=2HG，（5分）
∵O為重心，
∴G為BC中點，
∵GH⊥EF，BE⊥EF，CF⊥EF，
∴EB∥HG∥CF，
∴H為EF中點，
∴HG=

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（EB+CF），
∴EB+CF=AD（7分）

（3）連接AO并延長交BC于點G，AO=2OG，
過G做GH⊥EF于H，再連接BH并延長交CF于R，
得△BEH≌△RFH（AAS），
所以CR=CF-BE=2HG=AD．

點評：本題主要考查三角形相似的判定及性質，涉及到中位線定理、重心的性質、矩形的性質等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．