Question

我們知道，任何一個三角形的三條內角平分線相交于一點，如圖，若△ABC 的三條內角平分線相交于點I，過I作DE⊥AI分別交AB、AC于點D、E．
（1）請你通過畫圖、度量，填寫右上表（圖畫在草稿紙上，并盡量畫準確）
（2）從上表中你發現了∠BIC與∠BDI之間有何數量關系，請寫出來，并說明其中的道理．

∠BAC的度數	40°	60°	90°	120°
∠BIC的度數
∠BDI的度數

Answer 1

分析：（1）通過畫圖、度量，即可完成表格；
（2）先從上表中發現∠BIC=∠BDI，再分別證明∠BIC=90°+

1

2

∠BAC，∠BDI=90°+

1

2

∠BAC．

解答：解：（1）填寫表格如下：

∠BAC的度數	40°	60°	90°	120°
∠BIC的度數	110°	120°	135°	150°
∠BDI的度數	110°	120°	135°	150°

（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：
∵△ABC的三條內角平分線相交于點I，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90+

1

2

∠BAC；
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=

1

2

∠DAE．
∵DE⊥AI于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+

1

2

∠BAC．
∴∠BIC=∠BDI．

點評：本題主要考查了三角形的內心的性質，三角形內角和定理、外角的性質，角平分線的性質以及垂線的性質，比較簡單．