Question

已知二次三項(xiàng)式ax²+bx+c（a＞0）
（1）當(dāng)c＜0時(shí)，求函數(shù)y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）若無論k為何實(shí)數(shù)，直線y=k(x-1)-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a+b+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)推出函數(shù)y'=ax²+bx+c的最小值小于零，再根據(jù)任何數(shù)的絕對(duì)值都為非負(fù)數(shù)解決此題；
（2）直線y=k(x-1)-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，也就是說方程k（x-1）-

k2

4

=ax²+bx+c只有一個(gè)解，即△=0．

解答：解：（1）由a＞0，c＜0知y'=ax²+bx+c與x軸必有交點(diǎn)，
y'_min＜0，
故y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值為-1；
（2）聯(lián)立方程組

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

，
∴ax²+bx+c=k（x-1）-

1

4

k²，
整理得，ax²+（b-k）x+c+k+

1

4

k²=0，
∵無論k為何實(shí)數(shù)，直線與拋物線都只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（b-k）²-4a（c+k+

1

4

k²）=（1-a）k²-2k（2a+b）+b²-4ac=0，
可得1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，
解得a=1，b=-2，c=1，
故a+b+c=0．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次方程之間的關(guān)系，以及方程根的個(gè)數(shù)的判斷規(guī)律．這些性質(zhì)和規(guī)律要求掌握．