Question

已知二次三項式ax²+bx+c（a＞0）
（1）當c＜0時，求函數y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）若無論k為何實數，直線與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，求a+b+c的值．

Answer 1

解：（1）由a＞0，c＜0知y'=ax²+bx+c與x軸必有交點，
y'_min＜0，
故y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值為-1；
（2）聯立方程組，
∴ax²+bx+c=k（x-1）-k²，
整理得，ax²+（b-k）x+c+k+k²=0，
∵無論k為何實數，直線與拋物線都只有一個交點，
∴△=（b-k）²-4a（c+k+k²）=（1-a）k²-2k（2a+b）+b²-4ac=0，
可得1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，
解得a=1，b=-2，c=1，
故a+b+c=0．
分析：（1）利用二次函數圖象的性質推出函數y'=ax²+bx+的最小值小于零，再根據任何數的絕對值都為非負數解決此題；
（2）直線與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，也就是說方程k（x-1）-=ax²+bx+c只有一個解，即△=0．
點評：主要考查了二次函數的性質與一元二次方程之間的關系，以及方程根的個數的判斷規律．這些性質和規律要求掌握．