Question

如圖1，平面直角坐標系中有一矩形紙片OABC，O為原點，點A、C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（，1），在BC邊上選取適當的點D，將△OCD沿OD翻折，點C落在點E處，得到△OED．
（1）若點E與點A、點B構成等腰三角形，求點E的坐標；
（2）若點E在一次函數y=2x-1的圖象上（如圖2），求點D的坐標；
（3）當線段OD與直線EA垂直時（如圖3），求△CDE的外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）分①AB=BE時，根據勾股定理求出OB=2，從而判斷出O、E、B三點共線，從而確定點E為矩形OABC的中心，然后根據點B的坐標寫出即可；
②AE=BE，然后根據等腰三角形三線合一的性質可以判定點E的縱坐標為，再根據翻折的性質可得OE=OC=1，過點E作EF⊥OA于點F，根據勾股定理求出OF的長度，即可得到點E的坐標；
③AE=AB時，可以得到AE=OE，根據等腰三角形三線合一的性質可得點E在OA的垂直平分線上，然后利用勾股定理求出點E到OA的距離EF的長度，即可得解；
（2）過點E作OC的平行線交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，然后根據直線解析式設出點E的坐標，利用勾股定理列式求解得到點E的坐標，然后證明△OGE和△EFD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出DF的長度，然后求出CD的長度，即可得到點D的坐標；
（3）連接CE，根據翻折的對稱性可得CE⊥OD，再根據過一點有且只有一條直線與已知直線垂直可得A、E、C三點共線，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠OAE=∠COD，再根據勾股定理求出AC的長度，然后利用∠OAE與∠COD的余弦值相等列式求解即可得到OD的長度，再證明△CDE的外接圓是以OD為直徑的圓，從而得解．
解答：解：（1）∵B（，1），
∴AB=OC=1，
OB==2，
根據翻折的性質，OE=OC=1，
①AB=BE時，則OE+BE=OB=2，
所以，點O、E、B三點共線，且點E是OB的中點，
∵O（0，0），B（，1），
∴點E的坐標為（，），
②AE=BE時，根據等腰三角形三線合一的性質可得點E在AB的垂直平分線上，
所以，點E的縱坐標為，
過點E作EF⊥OA于點F，則OF===，
所以，點E的坐標為（，），
③AE=AB時，∵OE=AE=1，
∴點E在OA的垂直平分線上，
∴OF=OA=，
∴EF===，
∴點E的坐標為（，），
綜上所述，點E的坐標為（，）；

（2）如圖2，過點E作OC的平行線交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，
∵點E在一次函數y=2x-1的圖象上，
∴設點E坐標為（a，2a-1），
在Rt△OEG中，OE²=EG²+OG²，
即1²=（2a-1）²+a²，
整理得，5a²-4a=0，
解得a₁=0（舍去），a₂=，
∴OG=，EG=2×-1=，
∴EF=FG-EG=1-=，
根據翻折，∠DEO=∠OCD=90°，
∴∠DEF+∠OEG=180°-90°=90°，
∵∠EOG+∠OEG=90°，
∴∠EOG=∠DEF，
又∵∠EDF=∠OGE=90°，
∴△OGE∽△EFD，
∴=，
即=，
解得DF=，
∴CD=CF-DF=OG-DF=-=，
∴點D的坐標為（，1）；

（3）如圖3，連接CE，根據翻折對稱性，CE⊥OD，
∵AE⊥OD，
∴A、E、C三點共線，
∵∠OAE+∠OCE=90°，∠COD+∠OCE=90°，
∴∠OAE=∠COD，
矩形OABC的對角線AC=OB=2，
∵cos∠OAE==，
cos∠COD==，
∴=，
解得OD=，
∵OD是Rt△OCD與Rt△ODE的斜邊，
∴點O、C、D、E四點共圓，且OD是外接圓的直徑，
∴△CDE的外接圓的半徑為：OD=×=．
點評：本題是對一次函數的綜合考查，主要利用了翻折變換的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質，（1）要根據等腰三角形的腰進行討論，（2）先根據直線解析式求出點E的坐標是解題的關鍵，（3）判斷出點A、E、C三點共線是解題的關鍵．