Question

如圖（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F
（1）求證：CE=CF．
（2）將圖（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其它條件不變，如圖（2）所示．試猜想：BE′與CF有怎樣的數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平分線的定義可知∠CAF=∠EAD，再根據已知條件以及等量代換即可證明CE=CF，
（2）根據題意作輔助線過點E作EG⊥AC于G，根據平移的性質得出D′E′=DE，再根據已知條件判斷出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根據等量代換可知BE′=CF．
解答：
（1）證明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；

（2）猜想：BE′=CF．
證明：如圖，過點E作EG⊥AC于G，連接EE′，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ED=EG，
由平移的性質可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△CEG與△BE′D′中，
，
∴△CEG≌△BE′D′，
∴CE=BE′，
由（1）可知CE=CF，
∴BE′=CF．
點評：本題主要考查了平分線的定義，平移的性質以及全等三角形的判定與性質，難度適中．