Question

如圖1，平面直角坐標系xOy中，A，B．將△OAB繞點O順時針旋轉a角（0°＜a＜90°）得到△OCD（O，A，B的對應點分別為O，C，D），將△OAB沿軸負方向平移m個單位得到△EFG（m＞0，O，A，B的對應點分別為E，F，G），a，m的值恰使點C，D，F落在同一反比例函數(k≠0)的圖象上．

（1）∠AOB=    °，a=   °；

（2）求經過點A，B，F的拋物線的解析式；

（3）若（2）中拋物線的頂點為M，拋物線與直線EF的另一個交點為H，拋物線上的點P滿足以P，M，F，A為頂點的四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等（點P不與點H重合），請直接寫出滿足條件的點P的個數，并求位于直線EF上方的點P的坐標．

 

Answer 1

．解：（1）∠AOB= 30 °，a= 60 °．…………………………………………………2分

（2）∵ A，B，△OAB繞點O順時針旋轉a角得到△OCD，（如圖7）

∴OA=OB=OC=OD=4．

由（1）得 ．

∴ 點C與點A關于x軸對稱，點C的坐標為．

∵ 點C，D，F落在同一反比例函數（k≠0）的圖象上，

∴ ．

∵ 點F是由點A沿軸負方向平移m個單位得到，

∴ ，，點F的坐標為．……………3分

∴ 點F與點A關于y軸對稱，可設經過點A，B，F的拋物線的解析式為．

∴   解得

∴ 所求拋物線的解析式為． …………………………………4分

（3）滿足條件的點P的個數為 5 ．………………………………………………5分

           拋物線的頂點為．

           ∵ △EFG是由△OAB沿軸負方向平移m個單位得到，

∴ ，，∠FEG=∠AOB=30°．

∴ 點E的坐標為．

可得直線EF的解析式為．

∵ 點H的橫坐標是方程的解，

整理，得．

解得 ．

∴ 點H的坐標為．

由拋物線的對稱性知符合題意的點的坐標為．……………6分

可知△AFM是等邊三角形，∠MAF= 60°．

由A，M兩點的坐標分別為A，，

可得直線AM的解析式為．

過點H作直線AM的平行線l，設其解析式為（b≠8）．

將點H的坐標代入上式，得．

解得，直線l的解析式為．

∵ 直線l與拋物線的交點的橫坐標是方程的解．

整理，得．解得．

∴ 點滿足，四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等．（如圖8）……………………………………………7分

           點關于y軸的對稱點也符合題意，其坐標為．………8分

綜上所述，位于直線EF上方的點P的坐標分別為，，

 

解析:略